Trong mặt phẳng Oxy,đường thẳng (d) có phương trình:(m-4)x+(m-3)y=1(m là tham số).Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất khi giá trị m bằng
A.1 B.\(\dfrac{1}{3}\) C.\(\dfrac{7}{2}\) D.\(\dfrac{5}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2022
Đường thẳng (d) qua điểm cố định \(A\left(-1;1\right)\)
Đường thẳng OA có phương trình: \(y=-x\) nên có hệ số góc bằng -1
\(\Rightarrow\) K/c từ O đến (d) lớn nhất khi 2 đường thẳng (d) và OA vuông góc
\(\Rightarrow\) Tích hệ số góc của chúng bằng -1
Ta có: \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Rightarrow\left(3-m\right)y=\left(m-4\right)x-1\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{m-4}{3-m}-\dfrac{1}{3-m}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{m-4}{3-m}\right).\left(-1\right)=-1\)
\(\Rightarrow m-4=3-m\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{7}{2}\)
29 tháng 5 2021
Xét m=4 =>(d):y=1 =>Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1
Xét m=3 =>(d):x=-1=> Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1
Xét \(m\ne4;m\ne3\)
Gọi \(A=Ox\cap\left(d\right)\) \(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{m-4};0\right)\), \(B=Oy\cap\left(d\right)\Rightarrow B\left(0;\dfrac{1}{m-3}\right)\)
Gọi H là hình chiếu của O lên AB
Có \(OH^2=\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2+OB^2}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2.\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2\left(m-3\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2}+\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}\right]}\)
\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2+\left(m-3\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2m^2-14m+25}=\dfrac{1}{2\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}\le2\)
=> \(OH\le\sqrt{2}\)
=> Khoảng cách lớn nhất gốc tọa độ đến (d) là \(\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\) (thỏa)
29 tháng 5 2021
Xét điểm \(A\left(-1;1\right)\). Dễ thấy A thuộc (d). Gọi H là hình chiếu của O trên (d). Ta có \(OH\le OA=\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(H\equiv A\), tức là \(d\perp OA\).
Ta cần tìm m sao cho \(d\perp OA\). Phương trình đường thẳng đi qua O, A là
y = -x. Xét m = 4 thì đường thẳng (d) trở thành \(y=1\), đường thẳng này song song với trục hoành và không vuông góc với d. Xét m khác 4. Khi đó \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{4-m}{m-3}x+\dfrac{1}{m-3}\). Để \(d\perp OA\) thì \(\dfrac{4-m}{m-3}.\left(-1\right)=-1\Leftrightarrow4-m=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).
Vậy Max \(OH=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).
20 tháng 1 2020
Với \(m=3\Rightarrow x=-1\Rightarrow\)khoảng cách từ O đến d bằng 1
Với \(m\ne3\)
\(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(4x+3y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow d\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(-1;1\right)\)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống d thì OA là đường xiên
\(\Rightarrow OH\le OA\Rightarrow OH_{max}=OA=\sqrt{2}\) khi \(H\equiv A\)
Khi đó \(d\perp OA\)
Gọi pt OA có dạng :
\(y=ax+b\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0.a+b=0\\-a+b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-x\)
Phương trình d viết lại:
\(y=\frac{4-m}{m-3}x+\frac{1}{m-3}\)
Do \(d\perp OA\Rightarrow\left(\frac{4-m}{m-3}\right).\left(-1\right)=-1\)
\(\Rightarrow\frac{4-m}{m-3}=1\Rightarrow4-m=m-3\Rightarrow m=\frac{7}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 10 2019
Với \(m=3\Rightarrow x=-1\Rightarrow\) khoảng cách từ O đến d bằng 1
Với \(m\ne3\):
\(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(4x+3y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow d\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(-1;1\right)\)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống d thì OA là đường xiên
\(\Rightarrow OH\le OA\Rightarrow OH_{max}=OA=\sqrt{2}\) khi \(H\equiv A\)
Khi đó \(d\perp OA\)
Gọi pt OA có dạng \(y=ax+b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0.a+b=0\\-a+b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-x\)
Phương trình d viết lại: \(y=\frac{4-m}{m-3}x+\frac{1}{m-3}\)
Do \(d\perp OA\Rightarrow\left(\frac{4-m}{m-3}\right).\left(-1\right)=-1\)
\(\Rightarrow\frac{4-m}{m-3}=1\Rightarrow4-m=m-3\Rightarrow m=\frac{7}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 6 2023
Lời giải:
ĐK: $3m+1\neq 0$
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$
Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$
$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$
$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$
Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$
Tương tự: $B(0, -6m-1)$
Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$
Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$
$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$
$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$
Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min
Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$
Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$
$\Leftrightarrow m=-1$
Chọn C